En la mayoría de los centros educativos, se puede ir aprobando (e incluso sacar notables) la asignatura de matemáticas en la ESO aprendiendo únicamente la mecánica de resolución de problemas modelo.
A veces, hasta es posible llegar a un aprobado con este sistema de trabajo en 1 de bachillerato.
Sin embargo, el aprendizaje real de las matemáticas requiere otro tipo de enfoque, un sistema de estudio diferente.
Se pueden señalar dos aspectos claves para conseguir aprender matemáticas realmente. Éstos son: comprensividad, significación y memorización
· MEMORIZACIÓN: en contra de lo que piensan muchos jóvenes estudiantes, es imprescindible disponer en la mente de gran cantidad de fórmulas, principios, teoremas y valores numéricos. La retención de esta información es lo que se entiende por memorización.
· COMPRENSIVIDAD Y SIGNIFICACIÓN: el estudiante debe dar un significado a lo estudiado de modo que pueda ver su utilidad y aplicación en los problemas. Esto no es posible si no hay una adecuada comprensión de los conceptos. La representación mental de estos conceptos es una gran ayuda para conseguir la significación. Por ejemplo, el aprendizaje de que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero, es más fácil y potente si hacemos el ejercicio mental de imaginarnos dos vectores perpendiculares y si mentalmente escribimos un cero en el ángulo que forman.
A veces, hasta es posible llegar a un aprobado con este sistema de trabajo en 1 de bachillerato.
Sin embargo, el aprendizaje real de las matemáticas requiere otro tipo de enfoque, un sistema de estudio diferente.
Se pueden señalar dos aspectos claves para conseguir aprender matemáticas realmente. Éstos son: comprensividad, significación y memorización
· MEMORIZACIÓN: en contra de lo que piensan muchos jóvenes estudiantes, es imprescindible disponer en la mente de gran cantidad de fórmulas, principios, teoremas y valores numéricos. La retención de esta información es lo que se entiende por memorización.
· COMPRENSIVIDAD Y SIGNIFICACIÓN: el estudiante debe dar un significado a lo estudiado de modo que pueda ver su utilidad y aplicación en los problemas. Esto no es posible si no hay una adecuada comprensión de los conceptos. La representación mental de estos conceptos es una gran ayuda para conseguir la significación. Por ejemplo, el aprendizaje de que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero, es más fácil y potente si hacemos el ejercicio mental de imaginarnos dos vectores perpendiculares y si mentalmente escribimos un cero en el ángulo que forman.
** Pasos que dar en una sesión de estudio para aprender un tema de matemáticas **
A continuación, veamos los pasos que hay que dar en una sesión o programación de estudio en la que se pretende aprender un tema de matemáticas.
1. Lectura comprensiva de apuntes o libro de texto.
2. Elaboración de un esquema o resumen, desarrollando qué significa cada letra y expresión.
3. Memorización de los conceptos.
4. Intento de resolución de los problemas y ejercicios mandados por el profesor.
5. Tomar buenos apuntes de la corrección de esos problemas:
a. Tomar conciencia de los errores → I M P O R T A N T E
b. No copiar sólo la resolución. Hay que tomar nota de los comentarios del profesor.
c. En casa hay que elaborar principios y comentarios que se añadirán al esquema o resumen.
6. El mismo día de la corrección, hay que volver a hacer esos problemas según esta secuencia:
a. Hoja en blanco
b. Copia del enunciado
c. Resolución del problema sin mirar la solución ¡hasta el resultado final!.
7. Sólo cuando se ha llegado al final o cuando se reconoce que uno no sabe resolverlo, se consulta a los apuntes.
8. Para la preparación del examen, siempre es bueno intentar resolver ejercicios diferentes a los manda el profesor. Suele ser una gran ayuda conseguir exámenes de otros años del mismo profesor.
1. Lectura comprensiva de apuntes o libro de texto.
2. Elaboración de un esquema o resumen, desarrollando qué significa cada letra y expresión.
3. Memorización de los conceptos.
4. Intento de resolución de los problemas y ejercicios mandados por el profesor.
5. Tomar buenos apuntes de la corrección de esos problemas:
a. Tomar conciencia de los errores → I M P O R T A N T E
b. No copiar sólo la resolución. Hay que tomar nota de los comentarios del profesor.
c. En casa hay que elaborar principios y comentarios que se añadirán al esquema o resumen.
6. El mismo día de la corrección, hay que volver a hacer esos problemas según esta secuencia:
a. Hoja en blanco
b. Copia del enunciado
c. Resolución del problema sin mirar la solución ¡hasta el resultado final!.
7. Sólo cuando se ha llegado al final o cuando se reconoce que uno no sabe resolverlo, se consulta a los apuntes.
8. Para la preparación del examen, siempre es bueno intentar resolver ejercicios diferentes a los manda el profesor. Suele ser una gran ayuda conseguir exámenes de otros años del mismo profesor.
** Cuatro consejos para estudiar matemáticas **
1. Leer un texto de matemáticas requiere de mucha más calma y atención que leer otros tipos de texto. Casi todas las frases en un texto de matemáticas tienen un sentido muy específico el cual es necesario entender cabalmente para poder realizar los ejercicios propuestos posteriormente en el texto. No es razonable esperar que con una lectura rápida un estudiante comprenda las ideas expresadas en un texto de matemáticas. Es más productivo tomarse 20 minutos leyendo una página con atención que leer 20 veces la misma página de manera descuidada. Probablemente, diferente a muchas clases de lecturas, la matemática no se presta para una lectura veloz, sino para una lectura reflexiva.
2. Casi todos los mortales necesitamos estudiar las matemáticas con lápiz y papel a mano para verificar, repetir y rellenar los pasos intermedios de los problemas y de las soluciones que se nos presentan. Esos mismos mortales no aprendemos la matemática en el salón de clases sino en nuestro lugar de estudio. El salón de clases, como el texto y las páginas del web, proveen guías valiosas para el estudio, pero hasta que el estudiante no intente hacer matemáticas no podrá aprenderla. En cierta manera es como aprender a correr bicicleta o aprender a nadar: Puede uno escuchar por incontables horas, explicaciones de cómo hacer estas tareas, pero si no se intenta realizarlas, no se aprenden.
3. Las asignaciones (tareas), más que un medio para reforzar lo supuestamente aprendido, son un medio para descubrir qué es lo que no entendemos y por lo tanto necesitamos re-estudiar. En segundo lugar son el mecanismo ideal para que adquiramos fluidez en el manejo de los conceptos y en la aplicación de las destrezas enseñadas. Cuando tomes un examen de matemáticas típicamente tienes sólo 50 minutos para contestarlo. Si conoces todos los conceptos y todas las destrezas pero no puedes acceder a ellos con relativa rapidez, no tendrás éxito en el examen. Es necesario practicar lo enseñado, realizando la asignación para adquirir el dominio que garantiza éxito en los exámenes.
4. Cuando tengas dificultad entendiendo lo enseñado en clase o lo asignado del texto, consulta a tu profesor(a) y tutores. Por alguna misteriosa razón es más fácil aprender de un experto que de un libro. Sin embargo, la consulta al profesor es más productiva después de que la estudiante ha hecho un esfuerzo honesto por entender el material. Es preferible la autosuficiencia, pero hay ocasiones en que es necesario consultar a alguien que sabe más que uno(a).
Por último, un par de consideraciones sobre cómo deben ser ordenar los apuntes de matemáticas:
· Toma siempre los apuntes en hojas del mismo tamaño, a ser posible tamaño DIN A4 que es el tamaño estándar.
· Para cada tema, es mejor tener por separado la teoría con los ejemplos de los problemas.
· Hay que ser ordenado y limpio en la toma de apuntes y en la resolución de ejercicios. Los alumnos no suelen dar a este aspecto la importancia que merece.
· ¡En matemáticas no hay que ahorrar papel!. Estudia siempre escribiendo y si te atascas en un problema, tacha todo y comienza de nuevo. Si el atasco persiste, espera un rato y vuelve a intentarlo.
Estrategias de resolución de problemas.
1. Comprender el problema (identificar el objetivo)
El primer paso debe ser leer cuidadosamente el problema. Asegúrate de que lo entiendes con claridad y de que no se te escapa ningún detalle. Hazte a ti mismo estas preguntas:
· ¿Cuáles son las incógnitas?
· ¿Qué datos nos dan?
· ¿Qué relaciones existen?
· ¿Qué condiciones nos imponen?
El primer paso debe ser leer cuidadosamente el problema. Asegúrate de que lo entiendes con claridad y de que no se te escapa ningún detalle. Hazte a ti mismo estas preguntas:
· ¿Cuáles son las incógnitas?
· ¿Qué datos nos dan?
· ¿Qué relaciones existen?
· ¿Qué condiciones nos imponen?
En muchos problemas es útil:
Dibujar un diagrama o un esquema, e identificar en él los datos e incógnitas del problema. Usualmente también es necesario:
Introducir la notación adecuada. En la elección de símbolos para las incógnitas a menudo usamos letras como a, b, c, x ey; pero en muchos casos ayuda usar iniciales como V para el volumen o t para el tiempo. Usa marcas (primas, barras, ...), subíndices o superíndices cuando sea necesario, pero intenta no recargar la notación.
2. Traza un Plan (una estrategia de trabajo)
Para calcular la incógnita debes encontrar una conexión entre la información que se te ofrece y aquello que se te pregunta. A menudo te ayudará preguntarte explícitamente: “¿Cómo puedo relacionar los datos y la incógnita?”. Si no ves una conexión inmediatamente, las siguientes ideas pueden ayudar-te a trazar un plan:
* Establece objetivos parciales (divide el problema en subproblemas)
En un problema complejo suele ser de gran ayuda dividirlo en problemas más pequeños. Si podemos resolver objetivos parciales tal vez seamos capaces de llegar, a través de ellos, a la solución completa.
* Intenta reconocer algo familiar.
Busca alguna relación entre la situación que se te plantea y tu conocimiento anterior. Intenta recordar un problema conocido con incógnitas o datos parecidos o que involucre una idea similar.
* Mira si existe un patrón en el problema.
Algunos problemas quedan resueltos cuando identificamos en él un patrón que se repite. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si puedes distinguir alguna regularidad o repetición en el problema, tal vez sea esa la clave de su resolución. (Si haces muchos problemas desarrollarás tu capacidad para reconocer patrones).
* Usa analogías.
Intenta pensar en un problema similar que esté relacionado con el que tienes que resolver pero que tenga una solución más simple. Un problema sencillo pero similar puede darte pistas para llegar a la solución final. Si tu problema es de tipo general, intenta en primer lugar un caso particular. (Hay que hacer cuantos más problemas, mejor. Así tendrás una buena base para encontrar analogías).
Dibujar un diagrama o un esquema, e identificar en él los datos e incógnitas del problema. Usualmente también es necesario:
Introducir la notación adecuada. En la elección de símbolos para las incógnitas a menudo usamos letras como a, b, c, x ey; pero en muchos casos ayuda usar iniciales como V para el volumen o t para el tiempo. Usa marcas (primas, barras, ...), subíndices o superíndices cuando sea necesario, pero intenta no recargar la notación.
2. Traza un Plan (una estrategia de trabajo)
Para calcular la incógnita debes encontrar una conexión entre la información que se te ofrece y aquello que se te pregunta. A menudo te ayudará preguntarte explícitamente: “¿Cómo puedo relacionar los datos y la incógnita?”. Si no ves una conexión inmediatamente, las siguientes ideas pueden ayudar-te a trazar un plan:
* Establece objetivos parciales (divide el problema en subproblemas)
En un problema complejo suele ser de gran ayuda dividirlo en problemas más pequeños. Si podemos resolver objetivos parciales tal vez seamos capaces de llegar, a través de ellos, a la solución completa.
* Intenta reconocer algo familiar.
Busca alguna relación entre la situación que se te plantea y tu conocimiento anterior. Intenta recordar un problema conocido con incógnitas o datos parecidos o que involucre una idea similar.
* Mira si existe un patrón en el problema.
Algunos problemas quedan resueltos cuando identificamos en él un patrón que se repite. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si puedes distinguir alguna regularidad o repetición en el problema, tal vez sea esa la clave de su resolución. (Si haces muchos problemas desarrollarás tu capacidad para reconocer patrones).
* Usa analogías.
Intenta pensar en un problema similar que esté relacionado con el que tienes que resolver pero que tenga una solución más simple. Un problema sencillo pero similar puede darte pistas para llegar a la solución final. Si tu problema es de tipo general, intenta en primer lugar un caso particular. (Hay que hacer cuantos más problemas, mejor. Así tendrás una buena base para encontrar analogías).
* Introduce algo extra.
En ocasiones puede ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda auxiliar, que facilite encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Por ejemplo, en un problema geométrico puede ayudar trazar líneas adicionales o en un problema algebraico introducir una nueva variable relacionada con la incógnita.
En ocasiones puede ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda auxiliar, que facilite encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Por ejemplo, en un problema geométrico puede ayudar trazar líneas adicionales o en un problema algebraico introducir una nueva variable relacionada con la incógnita.
* Separa en casos.
A veces un problema puede ser troceado en varios casos, de forma que sea sencillo encontrar una solución diferente para cada caso. Por ejemplo, separar entre valores positivos y negativos o entre valores enteros y decimales. Si haces esto, cuida de no dejar por estudiar ninguna posibilidad (por ejemplo, el valor cero).
* Trabaja hacia atrás (asume que la respuesta ya la conoces).
A menudo es útil imaginar que ya ha sido resuelto el problema y, a partir de la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Entonces bastará recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos a la solución.
* Razonamiento indirecto.
Hay otros casos en los que resulta apropiado cambiar de estrategia. Por ejemplo, intentar resolver algebraicamente un problema geométrico o al revés. También puede ser interesante el método de reducción al absurdo: Si quieres probar que P implica Q, podrías intentar probar que es imposible que se dé al mismo tiempo que P es cierto y Q falso.
3. Llevar a cabo el Plan
Una vez trazado el plan, hay que ponerlo en práctica. Al llevarlo a cabo debe chequearse cada paso y escribir los detalles que lo hacen correcto. Una ristra de ecuaciones no es suficiente, comenta lo que haces y por qué lo haces. Procura además escribir con orden y claridad, poniendo apartados y observaciones si eso hace más comprensible tu trabajo. Puede ser útil numerar las ecuaciones intermedias o poner marcas (asteriscos, etc.). Cuando llegues a la solución destácala (encuadrándola por ejemplo).
4. Mirar hacia atrás (comprobaciones finales)
Debes ser meticuloso con tus resultados, buscando posibles errores (inconsistencias, ambigüedades, incorrecciones) en tus soluciones. Tú mismo debes ser tu crítico más duro. En la medida de lo posible deberías chequear el resultado. Aquí tienes una lista de posibilidades:
¿Existe un método de resolución alternativo que dé al menos una respuesta parcial?
· Intenta una aproximación similar para algún problema parecido aunque sea más simple.
· Comprueba los signos y las unidades (dos veces mejor que una sola). Si la respuesta fue numérica, ¿es razonable el orden de magnitud?
·
¿Varía la respuesta numérica de la forma esperable si cambias uno o más parámetros?
· Chequea los casos límite en los que la respuesta sea fácil o conocida.
· Chequea los casos especiales en los que la respuesta tenga alguna peculiaridad.
· Comprueba si tu solución refleja las posibles simetrías del problema.
· Haz algún experimento (mental, al menos) para ver que la respuesta tiene sentido.
A veces un problema puede ser troceado en varios casos, de forma que sea sencillo encontrar una solución diferente para cada caso. Por ejemplo, separar entre valores positivos y negativos o entre valores enteros y decimales. Si haces esto, cuida de no dejar por estudiar ninguna posibilidad (por ejemplo, el valor cero).
* Trabaja hacia atrás (asume que la respuesta ya la conoces).
A menudo es útil imaginar que ya ha sido resuelto el problema y, a partir de la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Entonces bastará recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos a la solución.
* Razonamiento indirecto.
Hay otros casos en los que resulta apropiado cambiar de estrategia. Por ejemplo, intentar resolver algebraicamente un problema geométrico o al revés. También puede ser interesante el método de reducción al absurdo: Si quieres probar que P implica Q, podrías intentar probar que es imposible que se dé al mismo tiempo que P es cierto y Q falso.
3. Llevar a cabo el Plan
Una vez trazado el plan, hay que ponerlo en práctica. Al llevarlo a cabo debe chequearse cada paso y escribir los detalles que lo hacen correcto. Una ristra de ecuaciones no es suficiente, comenta lo que haces y por qué lo haces. Procura además escribir con orden y claridad, poniendo apartados y observaciones si eso hace más comprensible tu trabajo. Puede ser útil numerar las ecuaciones intermedias o poner marcas (asteriscos, etc.). Cuando llegues a la solución destácala (encuadrándola por ejemplo).
4. Mirar hacia atrás (comprobaciones finales)
Debes ser meticuloso con tus resultados, buscando posibles errores (inconsistencias, ambigüedades, incorrecciones) en tus soluciones. Tú mismo debes ser tu crítico más duro. En la medida de lo posible deberías chequear el resultado. Aquí tienes una lista de posibilidades:
¿Existe un método de resolución alternativo que dé al menos una respuesta parcial?
· Intenta una aproximación similar para algún problema parecido aunque sea más simple.
· Comprueba los signos y las unidades (dos veces mejor que una sola). Si la respuesta fue numérica, ¿es razonable el orden de magnitud?
·
¿Varía la respuesta numérica de la forma esperable si cambias uno o más parámetros?
· Chequea los casos límite en los que la respuesta sea fácil o conocida.
· Chequea los casos especiales en los que la respuesta tenga alguna peculiaridad.
· Comprueba si tu solución refleja las posibles simetrías del problema.
· Haz algún experimento (mental, al menos) para ver que la respuesta tiene sentido.
